Hàm số bậc nhất là nội dung cơ bản trong chương trình Đại số. Bài viết này sẽ cung cấp lý thuyết tổng quan, hướng dẫn vẽ đồ thị, lập bảng biến thiên và áp dụng vào 61 bài tập hàm bậc nhất điển hình.
1. Định nghĩa
Hàm số bậc nhất có dạng tổng quát: y = ax + b
Trong đó:
- a và b là các hằng số, với a ≠ 0 (nếu a = 0, hàm số sẽ trở thành hàm số hằng).
- x là biến số, hay còn gọi là đối số của hàm số.
Ví dụ về hàm số bậc nhất:
- y = 2x + 3
- y = -x – 4
Hàm số bậc nhất là một hàm tuyến tính, biểu diễn mối quan hệ giữa hai biến số với đồ thị là một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ.
2. Đặc điểm của hàm số bậc nhất
2.1. Tập xác định
Tập xác định của hàm số bậc nhất là R (tập hợp tất cả các số thực), bởi hàm số này không có bất kỳ điều kiện nào hạn chế giá trị của x.
2.2. Hệ số góc và ý nghĩa
Hệ số a được gọi là hệ số góc của hàm số. Hệ số này quyết định độ dốc của đường thẳng, cụ thể:
- Nếu a > 0, đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải (đồng biến).
- Nếu a < 0, đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải (nghịch biến).
Hệ số b là hằng số, quyết định vị trí của đường thẳng trên trục tung. Cụ thể, b là tung độ tại điểm mà đường thẳng cắt trục tung (khi x = 0).
3. Đồ thị
3.1. Hình dạng đồ thị
Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng. Phương trình của đường thẳng này là y = ax + b, với:
- a quyết định độ dốc của đường thẳng.
- b quyết định điểm mà đồ thị cắt trục tung.
3.2. Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất
Để vẽ đồ thị hàm số bậc nhất, chỉ cần xác định hai điểm thuộc đồ thị:
- Điểm cắt trục tung: Cho x = 0, tính được y = b.
- Điểm cắt trục hoành: Cho y = 0, tính được x = -b/a (nếu a ≠ 0).
Sau khi xác định hai điểm này, ta chỉ cần kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó.
Ví dụ: Với hàm số y = 2x + 1, ta có:
- Điểm cắt trục tung: x = 0 → y = 1 (tọa độ: (0, 1)).
- Điểm cắt trục hoành: y = 0 → x = -1/2 (tọa độ: (-1/2, 0)).
Nối hai điểm (0, 1) và (-1/2, 0), ta được đồ thị của hàm số.
4. Tính chất của hàm số bậc nhất
4.1. Tính đồng biến và nghịch biến
– Hàm số đồng biến trên R nếu a > 0. Khi x tăng, y cũng tăng.
– Hàm số nghịch biến trên R nếu a < 0. Khi x tăng, y giảm.
4.2. Giao điểm với trục tọa độ
– Giao điểm với trục tung: (0, b).
– Giao điểm với trục hoành: (-b/a, 0) (chỉ có khi b ≠ 0).
4.3. Độ dốc và góc tạo bởi đường thẳng với trục hoành
Hệ số góc a của hàm số thể hiện độ dốc của đường thẳng. Nếu lấy giá trị tuyệt đối của hệ số góc, ta đo được độ nghiêng của đường thẳng so với trục hoành. Đường thẳng càng dốc thì |a| càng lớn.
5. Các dạng bài tập có lời giải
Dạng 1. Xác định hàm số bậc nhất từ điều kiện cho trước
Yêu cầu:Tìm \(a\) và \(b\) để viết phương trình hàm số khi biết các điều kiện như: đi qua 2 điểm, có hệ số góc cho trước, hoặc giao với trục tọa độ.
Bài tập: Tìm hàm số \(y = ax + b\) biết nó đi qua hai điểm \(A(1, 3)\) và \(B(2, 5)\).
Lời giải
Thay tọa độ \(A\) và \(B\) vào phương trình: $ \begin{cases} 3 = a \cdot 1 + b, \\ 5 = a \cdot 2 + b. \end{cases} $
Giải hệ phương trình, tìm được \(a = 2\), \(b = 1\). Vậy hàm số là \(y = 2x + 1\).
Dạng 2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất
Yêu cầu:Xác định tính chất, vẽ đồ thị dựa trên các yếu tố: hệ số góc (\(a\)), điểm cắt trục (\(b\)).
Bài tập: Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2x – 3\).
Lời giải
– \(a = 2 > 0\): Đồ thị dốc lên từ trái sang phải.
– Tìm giao với trục:
– Với \(x = 0\): \(y = -3\) \(\Rightarrow (0, -3)\).
– Với \(y = 0\): \(x = \frac{3}{2}\) \(\Rightarrow (\frac{3}{2}, 0)\).
– Vẽ đồ thị qua hai điểm trên.
Dạng 3. Xác định giao điểm giữa hai đường thẳng
Yêu cầu:Tìm giao điểm giữa hai hàm số bậc nhất \(y_1 = a_1x + b_1\) và \(y_2 = a_2x + b_2\).
Bài tập: Tìm giao điểm của \(y_1 = x + 1\) và \(y_2 = -x + 3\).
Lời giải
Giải phương trình:
$x + 1 = -x + 3 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1.$
Thay \(x = 1\) vào \(y_1\): \(y = 2\). Giao điểm là \( (1, 2) \).
Dạng 4. Tìm mối quan hệ giữa hai đường thẳng
Yêu cầu:Xác định hai đường thẳng song song, vuông góc, hay cắt nhau dựa vào hệ số góc.
Bài tập: Kiểm tra \(y_1 = 2x + 1\) và \(y_2 = -\frac{1}{2}x + 3\) có vuông góc không.
Lời giải
Tích hệ số góc \(a_1 \cdot a_2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1\).
Vậy hai đường thẳng vuông góc.
Dạng 5. Tính giá trị hàm số tại một điểm
Yêu cầu:Tính giá trị \(y\) khi biết \(x\), hoặc ngược lại.
Bài tập: Cho hàm số \(y = 3x – 5\). Tính giá trị \(y\) khi \(x = 2\).
Lời giải
Thay \(x = 2\) vào: \(y = 3 \cdot 2 – 5 = 1\).
Dạng 6. Tìm điều kiện của tham số để hàm số có tính chất đặc biệt
Yêu cầu:Tìm tham số \(a\), \(b\) để đồ thị thỏa mãn các tính chất như: song song, vuông góc, đi qua điểm đã cho.
Bài tập: Tìm \(a\) để đường thẳng \(y = ax + 1\) song song với \(y = 2x + 3\).
Lời giải
Hai đường song song khi \(a = 2\).
Dạng 7. Giải bài toán thực tế liên quan đến hàm số bậc nhất
Yêu cầu:Mô hình hóa bài toán thực tế bằng hàm số bậc nhất và giải quyết.
Bài tập: Một xe máy di chuyển với vận tốc 40 km/h. Hỏi sau \(t\) giờ, xe đã đi được bao nhiêu km?
Lời giải
Phương trình: \(y = 40t\).
Với \(t = 3\) giờ, quãng đường \(y = 40 \cdot 3 = 120\) km.
Dạng 8. Giải bất phương trình liên quan đến hàm số bậc nhất
Yêu cầu:Tìm khoảng giá trị của \(x\) để hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài tập: Giải bất phương trình \(2x – 3 > 1\).
Lời giải
$2x – 3 > 1 \Rightarrow 2x > 4 \Rightarrow x > 2.$
Vậy nghiệm là \(x > 2\).
Dạng 9. Bài toán cực trị của hàm số bậc nhất trên đoạn
Yêu cầu:Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bậc nhất trên đoạn [a, b].
Bài tập: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = 3x + 2\) trên đoạn [1, 3].
Lời giải
Tính giá trị tại \(x = 1\): \(y = 3 \cdot 1 + 2 = 5\).
Tính giá trị tại \(x = 3\): \(y = 3 \cdot 3 + 2 = 11\).
– Giá trị nhỏ nhất: \(5\), lớn nhất: \(11\).
Dạng 10. Tìm điểm đối xứng hoặc khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Yêu cầu:Tìm tọa độ điểm đối xứng hoặc khoảng cách từ một điểm đến đồ thị hàm số.
Bài tập: Tìm khoảng cách từ điểm \(A(2, 3)\) đến đường thẳng \(y = x – 1\).
Lời giải
Công thức khoảng cách từ \(A(x_1, y_1)\) đến \(ax + by + c = 0\): $ d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}. $
Thay vào: \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -1\), \(x_1 = 2\), \(y_1 = 3\): $d = \frac{{|1 \cdot 2 – 1 \cdot 3 – 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( – 1)}^2}} }}$ $ = \frac{{|2 – 3 – 1|}}{{\sqrt 2 }}$ $ = \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 .$
Dạng 11. Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số bậc nhất
Yêu cầu:Xác định khoảng đồng biến (hàm số tăng) và nghịch biến (hàm số giảm) của hàm số dựa vào hệ số \(a\).
Bài tập: Cho hàm số \(y = -3x + 2\). Hàm số đồng biến hay nghịch biến?
Lời giải
– Hệ số \(a = -3 < 0\), nên hàm số nghịch biến trên tập số thực (\(\mathbb{R}\)).
Dạng 12. Tìm điểm cố định của hàm số bậc nhất
Yêu cầu:Tìm điểm \(M(x_0, y_0)\) mà khi thay \(x = y\) thì thỏa mãn \(y = ax + b\).
Bài tập: Tìm điểm cố định của hàm số \(y = 2x – 3\).
Lời giải
Điểm cố định thỏa mãn \(x = y\): $ x = 2x – 3 \Rightarrow x = 3. $
Vậy điểm cố định là \(M(3, 3)\).
Dạng 13. Bài toán tìm điều kiện của tham số để hàm số cắt trục tại vị trí đặc biệt
Yêu cầu:Tìm tham số \(a\), \(b\) để đồ thị cắt trục \(Ox\) hoặc \(Oy\) tại điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài tập: Tìm \(b\) để đường thẳng \(y = 4x + b\) cắt trục \(Oy\) tại điểm \( (0, 5)\).
Lời giải
Giao với \(Oy\) khi \(x = 0\): \(y = b\). Do đó, \(b = 5\).
Dạng 14. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất liên quan đến khoảng cách giữa đồ thị và điểm
Yêu cầu:Tìm khoảng cách từ một điểm cố định đến đồ thị hàm số bậc nhất sao cho khoảng cách lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Bài tập: Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm \(A(0, 0)\) đến đường thẳng \(y = 2x + 3\).
Lời giải
Khoảng cách từ \(A(x_1, y_1)\) đến \(ax + by + c = 0\): $ d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}. $
Với \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = 3\): $ d = \frac{|2 \cdot 0 – 1 \cdot 0 + 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{5}}. $
Dạng 15. Xét bài toán hình học liên quan đến hàm số bậc nhất
Yêu cầu:Xác định góc giữa hai đường thẳng, đường cao, trung tuyến, hoặc diện tích tam giác dựa vào đồ thị hàm số bậc nhất.
Bài tập: Tính góc giữa hai đường thẳng \(y = 2x + 1\) và \(y = -\frac{1}{2}x + 3\).
Lời giải
Góc giữa hai đường thẳng được tính bằng công thức: $ \tan \theta = \left| \frac{a_1 – a_2}{1 + a_1 \cdot a_2} \right|. $
Với \(a_1 = 2\), \(a_2 = -\frac{1}{2}\):
$\tan \theta = \left| \frac{2 – \left(-\frac{1}{2}\right)}{1 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} \right| = \left| \frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}} \right| = 5.$
Góc \(\theta = \arctan(5)\).
Dạng 16. Tìm khoảng nghiệm của bất phương trình chứa hàm số bậc nhất
Yêu cầu:Giải bất phương trình và xác định miền giá trị thỏa mãn trên đồ thị.
Bài tập: Giải bất phương trình \(2x + 3 \leq 5\).
Lời giải
$2x + 3 \leq 5 \Rightarrow 2x \leq 2 \Rightarrow x \leq 1.$
Nghiệm là \(x \leq 1\).
Dạng 17. Tìm tham số để đồ thị hàm số tiếp xúc với một đường thẳng khác
Yêu cầu:Xác định điều kiện của \(a\), \(b\) để đồ thị tiếp xúc với một đường thẳng khác hoặc đồ thị parabol.
Bài tập: Tìm \(m\) để đường thẳng \(y = mx + 2\) tiếp xúc với parabol \(y = x^2\).
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: $ x^2 = mx + 2 \Rightarrow x^2 – mx – 2 = 0. $
Tiếp xúc khi phương trình có nghiệm kép, tức \(\Delta = 0\): $ (-m)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 0 \Rightarrow m^2 + 8 = 0 \Rightarrow m = \pm \sqrt{8}. $
Dạng 18. Tính giá trị của hàm số bậc nhất tại một giá trị \(x\) cho trước
Yêu cầu:Tính giá trị \(y\) của hàm số tại một giá trị \(x\) cho trước.
Bài tập: Cho hàm số \(y = 3x – 5\). Tính giá trị \(y\) khi \(x = -2\).
Lời giải
Thay \(x = -2\) vào phương trình: $ y = 3 \cdot (-2) – 5 = -6 – 5 = -11. $
Vậy giá trị của hàm số tại \(x = -2\) là \(y = -11\).
Dạng 19. Xác định tọa độ điểm giao của hàm số bậc nhất với một đường thẳng hoặc một đồ thị khác
Yêu cầu:Tìm giao điểm của hàm số bậc nhất với một đường thẳng hoặc đồ thị khác.
Bài tập: Tìm giao điểm của hàm số \(y = 2x + 1\) với đường thẳng \(y = -x + 4\).
Lời giải
Giải phương trình hoành độ giao điểm: $2x + 1 = – x + 4$ $ \Rightarrow 3x = 3$ $ \Rightarrow x = 1.$
Thay \(x = 1\) vào một trong các phương trình: $ y = 2 \cdot 1 + 1 = 3. $
Vậy giao điểm là \((1, 3)\).
Dạng 20. Giải bài toán liên quan đến độ dốc của đường thẳng
Yêu cầu:Xác định độ dốc (hệ số góc \(a\)) của đường thẳng từ thông tin cho trước, như khoảng cách hoặc góc.
Bài tập: Tìm độ dốc của đường thẳng đi qua hai điểm \(A(1, 2)\) và \(B(3, 5)\).
Lời giải
Độ dốc \(a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{5 – 2}{3 – 1} = \frac{3}{2}\).
Vậy độ dốc của đường thẳng là \(\frac{3}{2}\).
Dạng 21. Tính diện tích tam giác có ba điểm nằm trên đồ thị hàm số bậc nhất
Yêu cầu:Tính diện tích tam giác khi biết ba điểm trên đồ thị hàm số bậc nhất.
Bài tập: Cho ba điểm \(A(1, 3)\), \(B(3, 5)\) và \(C(2, 4)\) nằm trên đồ thị hàm số \(y = 2x + 1\). Tính diện tích tam giác \(ABC\).
Lời giải
Diện tích tam giác với ba điểm \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\), \(C(x_3, y_3)\) được tính theo công thức: $ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2) \right|. $
Thay vào: $S = \frac{1}{2}\left| {1(5 – 4) + 3(4 – 3) + 2(3 – 5)} \right|$ $ = \frac{1}{2}\left| {1 + 3 – 4} \right|$ $ = \frac{1}{2} \times 0 = 0.$
Vậy ba điểm này không tạo thành một tam giác, chúng thẳng hàng.
Dạng 22. Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên một đoạn cho trước
Yêu cầu:Xác định khoảng đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số bậc nhất trên một đoạn cụ thể.
Bài tập
: Cho hàm số \(y = -4x + 1\). Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số trên đoạn [0, 3].
Lời giải
– Hệ số góc \(a = -4\), nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
– Hàm số không đồng biến trên bất kỳ đoạn nào vì \(a < 0\).
Dạng 23. Giải bài toán với ứng dụng hàm số bậc nhất trong bài toán tối ưu
Yêu cầu:Sử dụng hàm số bậc nhất để giải quyết các bài toán tối ưu (tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các bài toán thực tế).
Bài tập: Một người bán hàng có chi phí cố định 100 nghìn đồng và chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là 50 nghìn đồng. Họ bán mỗi sản phẩm với giá 120 nghìn đồng. Tính lợi nhuận của họ khi bán \(x\) sản phẩm.
Lời giải
Lợi nhuận \(L(x)\) = Doanh thu – Chi phí.
Doanh thu: \(120x\).
Chi phí: \(100 + 50x\).
Vậy lợi nhuận: L(x) = 120x – (100 + 50x) = 70x – 100.
Để lợi nhuận lớn nhất, bán càng nhiều sản phẩm thì lợi nhuận càng cao.
Dạng 24. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số bậc nhất tại một điểm cho trước
Yêu cầu:Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm cho trước.
Bài tập: Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = 2x + 3\) tại điểm \(x = 1\).
Lời giải
– Độ dốc của tiếp tuyến tại \(x = 1\) chính là hệ số góc của hàm số, \(a = 2\).
– Tọa độ của điểm trên đồ thị tại \(x = 1\): \(y = 2 \cdot 1 + 3 = 5\).
Phương trình tiếp tuyến là: y – 5 = 2(x – 1) ⇒y = 2x + 3.
Vậy phương trình tiếp tuyến là \(y = 2x + 3\).
Dạng 25. Bài toán về quan hệ giữa hàm số bậc nhất và đường chéo hình chữ nhật
Yêu cầu:Tính toán diện tích hình chữ nhật hoặc tìm các đặc tính khác liên quan đến đồ thị hàm số bậc nhất.
Bài tập: Cho một hình chữ nhật có một cạnh dài 4 đơn vị nằm trên trục \(Ox\), cạnh còn lại nằm trên đường thẳng \(y = 3x + 1\). Tính diện tích của hình chữ nhật.
Lời giải
Cạnh dài của hình chữ nhật là 4 đơn vị, và cạnh còn lại là đoạn cắt của đường thẳng \(y = 3x + 1\) với trục \(Oy\).
Khi \(x = 0\), \(y = 3(0) + 1 = 1\).
Vậy diện tích của hình chữ nhật là:$S = 4 \times 1 = 4.$
Dạng 26. Xác định điều kiện để hai đường thẳng song song
Yêu cầu:Xác định điều kiện của các tham số để hai đường thẳng \(y = a_1x + b_1\) và \(y = a_2x + b_2\) song song.
Bài tập: Tìm điều kiện để hai đường thẳng \(y = 2x + 1\) và \(y = 2x – 3\) song song.
Lời giải
Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi hệ số góc của chúng bằng nhau, tức là \(a_1 = a_2\).
Vì hai đường thẳng có hệ số góc đều là 2, nên chúng song song.
Dạng 27. Giải bài toán tìm giao điểm của hàm số bậc nhất với đường tròn
Yêu cầu:Tìm giao điểm của hàm số bậc nhất với một đường tròn.
Bài tập: Tìm giao điểm của đường thẳng \(y = x + 2\) và đường tròn \(x^2 + y^2 = 10\).
Lời giải
Thay \(y = x + 2\) vào phương trình đường tròn: ${x^2} + {(x + 2)^2} = 10$ $ \Rightarrow {x^2} + {x^2} + 4x + 4 = 10$ $ \Rightarrow 2{x^2} + 4x – 6 = 0.$
Chia cả phương trình cho 2: $ x^2 + 2x – 3 = 0. $
Giải phương trình bậc hai: $x = \frac{{ – 2 \pm \sqrt {{2^2} – 4(1)( – 3)} }}{{2(1)}}$ $ = \frac{{ – 2 \pm \sqrt {4 + 12} }}{2}$ $ = \frac{{ – 2 \pm 4}}{2}.$
Vậy \(x = 1\) hoặc \(x = -3\).
Khi \(x = 1\), \(y = 1 + 2 = 3\).
Khi \(x = -3\), \(y = -3 + 2 = -1\).
Vậy hai giao điểm là \((1, 3)\) và \((-3, -1)\).
Dạng 28. Xác định phương trình đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước và đi qua một điểm
Yêu cầu:Xác định phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho và đi qua một điểm cho trước.
Bài tập: Tìm phương trình của đường thẳng vuông góc với \(y = 2x + 1\) và đi qua điểm \(P(1, 3)\).
Lời giải
Để hai đường thẳng vuông góc, tích hệ số góc của chúng phải bằng \(-1\).
Hệ số góc của đường thẳng \(y = 2x + 1\) là \(a = 2\), vậy hệ số góc của đường thẳng vuông góc là \(a_{\perp} = -\frac{1}{2}\).
Phương trình đường thẳng có hệ số góc \(a_{\perp} = -\frac{1}{2}\) và đi qua điểm \(P(1, 3)\) là:
$y – 3 = -\frac{1}{2}(x – 1) \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}.$
Dạng 29. Xác định phương trình của đường trung bình trong tam giác
Yêu cầu:Xác định phương trình của đường trung bình trong tam giác.
Bài tập: Tìm phương trình của đường trung bình trong tam giác có các đỉnh \(A(1, 2)\), \(B(3, 6)\), \(C(5, 4)\).
Lời giải
Đoạn trung bình nối trung điểm của hai cạnh trong tam giác.
Trung điểm của \(BC\) là: $ M = \left( \frac{3+5}{2}, \frac{6+4}{2} \right) = (4, 5). $
Phương trình đường thẳng đi qua \(A(1, 2)\) và \(M(4, 5)\) có độ dốc: $ a = \frac{5 – 2}{4 – 1} = 1. $
Phương trình đường thẳng là: $ y – 2 = 1(x – 1) \Rightarrow y = x + 1. $
Dạng 30. Tính diện tích hình thang có một cạnh là đoạn thẳng của đồ thị hàm số bậc nhất
Yêu cầu:Tính diện tích hình thang có một cạnh là đoạn thẳng trên đồ thị hàm số bậc nhất.
Bài tập: Tính diện tích hình thang có các đỉnh \(A(0, 1)\), \(B(2, 5)\), \(C(4, 3)\), và \(D(6, 7)\), với \(AB\) là cạnh vuông góc với \(CD\).
Lời giải
Diện tích hình thang được tính theo công thức: $ S = \frac{1}{2}(a + b)h, $
trong đó \(a\) và \(b\) là các cạnh đáy và \(h\) là chiều cao (khoảng cách giữa hai đáy).
Tính \(a = \text{đoạn} AB = 2\), \(b = \text{đoạn} CD = 2\), và chiều cao \(h = 4\).
Vậy diện tích hình thang là: $ S = \frac{1}{2}(2 + 2) \times 4 = 8. $
Dạng 31. Xác định điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm cụ thể
Yêu cầu:Xác định điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm cho trước.
Bài tập: Tìm điều kiện để hai đường thẳng \(y = 2x + 1\) và \(y = -x + 5\) cắt nhau tại điểm \(P(1, 3)\).
Lời giải
Thay \(x = 1\) và \(y = 3\) vào phương trình của mỗi đường thẳng:
– Với đường thẳng \(y = 2x + 1\), ta có \(y = 2 \cdot 1 + 1 = 3\), đúng.
– Với đường thẳng \(y = -x + 5\), ta có \(y = -1 + 5 = 4\), sai.
Vậy hai đường thẳng không cắt nhau tại điểm \(P(1, 3)\).
Dạng 32. Tìm giá trị tham số \(m\) để đường thẳng tiếp xúc với parabol
Yêu cầu:Tìm giá trị của tham số để đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số bậc hai.
Bài tập: Tìm giá trị \(m\) để đường thẳng \(y = mx + 1\) tiếp xúc với parabol \(y = x^2 + 2x\).
Lời giải
Tiếp xúc xảy ra khi phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép.
Thay \(y = mx + 1\) vào phương trình của parabol: $mx + 1 = {x^2} + 2x$ $ \Rightarrow {x^2} + (2 – m)x – 1 = 0.$
Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi \(\Delta = 0\): $\Delta = {(2 – m)^2} – 4(1)( – 1) = 0$ $ \Rightarrow {(2 – m)^2} + 4 = 0.$
Giải phương trình ta có: $ m = 2. $
Dạng 33. Tính giá trị của hàm số bậc nhất tại một điểm cho trước trong bài toán hình học
Yêu cầu:Tính giá trị hàm số tại một điểm cụ thể trong các bài toán hình học.
Bài tập: Cho hàm số \(y = -3x + 7\). Tính giá trị \(y\) khi \(x = -1\).
Lời giải
Thay \(x = -1\) vào phương trình: $y = – 3 \cdot ( – 1) + 7$ $ = 3 + 7 = 10.$
Vậy giá trị của hàm số tại \(x = -1\) là \(y = 10\).
Dạng 34. Tìm phương trình của đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước và đi qua một điểm cụ thể
Yêu cầu:Tìm phương trình của đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước và đi qua một điểm cho trước.
Bài tập: Tìm phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \(y = 4x – 2\) và đi qua điểm \(A(1, 3)\).
Lời giải
Để hai đường thẳng song song, chúng có hệ số góc bằng nhau.
Hệ số góc của đường thẳng \(y = 4x – 2\) là \(a = 4\).
Phương trình đường thẳng song song với \(y = 4x – 2\) và đi qua điểm \(A(1, 3)\) là: $y – 3 = 4(x – 1)$ $ \Rightarrow y = 4x – 1.$
Dạng 35. Giải bài toán liên quan đến bài toán giao của hàm số bậc nhất với đường tròn, đường elip
Yêu cầu:Tìm giao điểm của hàm số bậc nhất với các đồ thị phức tạp như đường tròn hoặc elip.
Bài tập: Tìm giao điểm của đường thẳng \(y = 3x + 2\) và đường tròn \(x^2 + y^2 = 13\).
Lời giải
Thay \(y = 3x + 2\) vào phương trình đường tròn:
${x^2} + {(3x + 2)^2} = 13$
$ \Rightarrow {x^2} + 9{x^2} + 12x + 4 = 13$
$ \Rightarrow 10{x^2} + 12x – 9 = 0.$
Giải phương trình bậc hai: $x = \frac{{ – 12 \pm \sqrt {{{12}^2} – 4(10)( – 9)} }}{{2(10)}}$ $ = \frac{{ – 12 \pm \sqrt {144 + 360} }}{{20}}$ $ = \frac{{ – 12 \pm \sqrt {504} }}{{20}}.$
Vậy giao điểm có hai giá trị \(x\). Sau đó thay vào phương trình \(y = 3x + 2\) để tính giá trị \(y\).
Dạng 36. Giải bài toán ứng dụng thực tế về các mối quan hệ tuyến tính
Yêu cầu:Sử dụng hàm số bậc nhất để giải quyết các bài toán thực tế như chi phí, lợi nhuận, tốc độ di chuyển, v.v.
Bài tập: Một công ty sản xuất một loại hàng hóa với chi phí cố định là 500 nghìn đồng và chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là 100 nghìn đồng. Tính tổng chi phí khi sản xuất \(x\) sản phẩm.
Lời giải
Chi phí \(C(x)\) là tổng chi phí cố định và chi phí sản xuất cho mỗi sản phẩm, tức là: $ C(x) = 500 + 100x. $
Đây là hàm số bậc nhất mô tả chi phí tổng cộng.
Dạng 37. Tính diện tích hình vuông khi biết cạnh là đoạn thẳng trên đồ thị hàm số bậc nhất
Yêu cầu:Tính diện tích hình vuông khi biết cạnh của nó là một đoạn thẳng trên đồ thị hàm số bậc nhất.
Bài tập: Cho hình vuông có một cạnh là đoạn thẳng trên đồ thị hàm số \(y = 2x + 1\), biết một điểm của cạnh này là \(A(1, 3)\). Tính diện tích hình vuông.
Lời giải
Vì hình vuông có các cạnh vuông góc với nhau, ta tính chiều dài cạnh.
Đoạn thẳng trên đồ thị giữa điểm \(A(1, 3)\) và điểm \(B(3, 7)\) có độ dài là: $d = \sqrt {{{(3 – 1)}^2} + {{(7 – 3)}^2}} $ $ = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = \sqrt {4 + 16} $ $ = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 .$
Vậy diện tích hình vuông là: $ S = (2\sqrt{5})^2 = 20. $
Dạng 38. Tính góc giữa hai đường thẳng
Yêu cầu:Tính góc giữa hai đường thẳng cho trước.
Bài tập: Tính góc giữa hai đường thẳng \(y = 2x + 3\) và \(y = -x + 5\).
Lời giải
Góc giữa hai đường thẳng có hệ số góc lần lượt là \(m_1\) và \(m_2\) được tính theo công thức: $ \tan \theta = \left| \frac{m_1 – m_2}{1 + m_1 m_2} \right|. $
Với \(m_1 = 2\) và \(m_2 = -1\), ta có: $ \tan \theta = \left| \frac{2 – (-1)}{1 + 2(-1)} \right| = \left| \frac{3}{-1} \right| = 3. $
Vậy \(\theta = \tan^{-1}(3)\).
Dạng 39. Tính phần trăm tăng trưởng trong bài toán kinh tế
Yêu cầu:Tính phần trăm tăng trưởng khi có sự thay đổi giữa các giá trị hàm số bậc nhất trong các bài toán kinh tế.
Bài tập: Doanh thu của một công ty theo hàm số \(y = 100x + 500\) (trong đó \(x\) là số sản phẩm bán ra). Tính phần trăm tăng trưởng từ \(x = 1\) đến \(x = 3\).
Lời giải
Doanh thu khi \(x = 1\): $ y(1) = 100(1) + 500 = 600. $
Doanh thu khi \(x = 3\): $ y(3) = 100(3) + 500 = 800. $
Phần trăm tăng trưởng là: $ \frac{800 – 600}{600} \times 100\% = \frac{200}{600} \times 100\% = 33.33\%. $
Dạng 40. Giải bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
Yêu cầu:Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng cho trước.
Bài tập: Tính khoảng cách từ điểm \(P(1, 2)\) đến đường thẳng \(y = 3x – 1\).
Lời giải
Khoảng cách từ điểm \(P(x_1, y_1)\) đến đường thẳng \(ax + by + c = 0\) là: $ d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}. $
Đặt phương trình đường thẳng \(y = 3x – 1\) dưới dạng \(3x – y – 1 = 0\).
Thay \(x_1 = 1\), \(y_1 = 2\) vào công thức: $ d = \frac{|3(1) – 2 – 1|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|3 – 2 – 1|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{0}{\sqrt{10}} = 0. $
Vậy khoảng cách là 0, nghĩa là điểm \(P(1, 2)\) nằm trên đường thẳng \(y = 3x – 1\).
Dạng 41. Tính giá trị cực trị của hàm số bậc nhất
Yêu cầu:Xác định các giá trị cực trị (max/min) của hàm số bậc nhất trong các bài toán ứng dụng.
Bài tập: Xác định giá trị cực trị của hàm số \(y = -5x + 10\).
Lời giải
Hàm số bậc nhất có dạng \(y = ax + b\), với \(a\) là hệ số góc.
Nếu \(a < 0\), hàm số giảm dần, không có giá trị cực đại mà chỉ có cực tiểu tại \(x = -\infty\).
Vì hàm số này có hệ số góc \(a = -5\) (âm), hàm số giảm, không có cực trị.
Dạng 42. Giải bài toán tìm giao điểm của hai đường thẳng
Yêu cầu:Tìm giao điểm của hai đường thẳng bậc nhất cho trước.
Bài tập: Tìm giao điểm của hai đường thẳng \(y = 2x + 1\) và \(y = -x + 4\).
Lời giải
Để tìm giao điểm, ta giải hệ phương trình: $ 2x + 1 = -x + 4. $
Giải phương trình: $ 3x = 3 \Rightarrow x = 1. $
Thay \(x = 1\) vào một trong hai phương trình ban đầu, ta có: $ y = 2(1) + 1 = 3. $
Vậy giao điểm của hai đường thẳng là \((1, 3)\).
Dạng 43. Giải bài toán về tốc độ và thời gian sử dụng hàm số bậc nhất
Yêu cầu:Sử dụng hàm số bậc nhất để giải các bài toán liên quan đến tốc độ và thời gian.
Bài tập: Một người đi từ A đến B với vận tốc \(v = 60\) km/h. Viết phương trình của quãng đường \(d\) theo thời gian \(t\).
Lời giải
Công thức tính quãng đường là \(d = v \times t\), với \(v = 60\) km/h.
Vậy phương trình quãng đường là: $ d = 60t. $
Đây là hàm số bậc nhất, với \(d\) là quãng đường và \(t\) là thời gian.
Dạng 44. Giải bài toán liên quan đến giá trị tuyệt đối của hàm số bậc nhất
Yêu cầu:Giải các bài toán có giá trị tuyệt đối của hàm số bậc nhất.
Bài tập: Giải phương trình \(|2x – 3| = 5\).
Lời giải
Phương trình có hai trường hợp:
– Trường hợp 1: \(2x – 3 = 5 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4\).
– Trường hợp 2: \(2x – 3 = -5 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 4\) và \(x = -1\).
Dạng 45. Giải bài toán về độ dốc và điểm cắt trong bài toán hình học
Yêu cầu:Xác định độ dốc và điểm cắt của đường thẳng khi giải quyết các bài toán hình học.
Bài tập: Tính độ dốc và điểm cắt của đường thẳng đi qua hai điểm \(A(2, 3)\) và \(B(5, 11)\).
Lời giải
Độ dốc \(m\) của đường thẳng đi qua hai điểm \(A(x_1, y_1)\) và \(B(x_2, y_2)\) được tính theo công thức:
$ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}. $ Thay \(A(2, 3)\) và \(B(5, 11)\) vào công thức: $ m = \frac{11 – 3}{5 – 2} = \frac{8}{3}. $
Phương trình đường thẳng đi qua \(A(2, 3)\) có dạng: $ y – 3 = \frac{8}{3}(x – 2). $
Tính điểm cắt với trục \(y\) (khi \(x = 0\)): $ y – 3 = \frac{8}{3}(0 – 2) = -\frac{16}{3}, $ $ y = 3 – \frac{16}{3} = \frac{9}{3} – \frac{16}{3} = -\frac{7}{3}. $
Vậy điểm cắt với trục \(y\) là \(\left(0, -\frac{7}{3}\right)\).
Dạng 46. Giải bài toán về lợi nhuận trong bài toán kinh tế
Yêu cầu:Giải các bài toán liên quan đến lợi nhuận trong kinh tế sử dụng hàm số bậc nhất.
Bài tập: Một công ty có chi phí cố định là 500 triệu đồng và lợi nhuận từ mỗi sản phẩm là 50 triệu đồng. Viết phương trình mô tả lợi nhuận khi sản xuất \(x\) sản phẩm.
Lời giải
Lợi nhuận là tổng lợi nhuận từ mỗi sản phẩm và chi phí cố định, vì vậy: $ P(x) = 50x – 500, $ trong đó \(P(x)\) là lợi nhuận khi sản xuất \(x\) sản phẩm.
Dạng 47. Giải bài toán liên quan đến giá trị trung bình của hàm số bậc nhất
Yêu cầu:Tính giá trị trung bình của một hàm số bậc nhất trên một đoạn cho trước.
Bài tập: Tính giá trị trung bình của hàm số \(y = 2x + 1\) trên đoạn [1, 3].
Lời giải
Giá trị trung bình của hàm số \(y = f(x)\) trên đoạn \([a, b]\) được tính bằng công thức: $ \frac{1}{b – a} \int_a^b f(x) dx. $
Với \(f(x) = 2x + 1\), ta có: $\int_1^3 {(2x + 1)} dx$$ = \left[ {{x^2} + x} \right]_1^3$ $ = (9 + 3) – (1 + 1)$ $ = 10.$
Vậy giá trị trung bình là: $ \frac{1}{3 – 1} \times 10 = 5. $
Dạng 48. Tìm điều kiện để hai đường thẳng vuông góc
Yêu cầu:Xác định điều kiện để hai đường thẳng vuông góc với nhau dựa trên hệ số góc.
Bài tập: Tìm điều kiện để đường thẳng \(y = 2x + c\) vuông góc với đường thẳng \(y = -\frac{1}{2}x + d\).
Lời giải
Hai đường thẳng vuông góc khi tích hệ số góc của chúng bằng \(-1\).
Gọi \(m_1 = 2\) và \(m_2 = -\frac{1}{2}\), ta có: $m_1 \cdot m_2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1.$
Vì điều kiện này luôn đúng, hai đường thẳng luôn vuông góc với nhau với bất kỳ giá trị nào của \(c\) và \(d\).
Dạng 49. Tìm phương trình đường thẳng đối xứng với một đường thẳng qua một điểm
Yêu cầu:Tìm phương trình đường thẳng đối xứng với một đường thẳng cho trước qua một điểm cụ thể.
Bài tập: Tìm phương trình đường thẳng đối xứng với \(y = 2x – 3\) qua điểm \(A(1, 1)\).
Lời giải
– Viết phương trình trung điểm \(M\) giữa điểm bất kỳ trên đường \(y = 2x – 3\) và điểm đối xứng qua \(A(1, 1)\).
– Giải để tìm phương trình đối xứng. (Quá trình cụ thể có thể phức tạp hơn tùy bài toán).
Dạng 50. Xác định miền nghiệm của bất phương trình chứa hàm số bậc nhất
Yêu cầu:Xác định miền nghiệm của bất phương trình liên quan đến hàm số bậc nhất.
Bài tập: Giải bất phương trình \(2x – y + 3 \geq 0\).
Lời giải
– Chuyển về dạng \(y \leq 2x + 3\).
– Xác định miền nghiệm trên hệ trục tọa độ: phần dưới đường thẳng \(y = 2x + 3\).
Dạng 51. Tìm điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với parabol
Yêu cầu:Xác định điều kiện để một đường thẳng tiếp xúc với đồ thị parabol.
Bài tập: Tìm \(k\) để đường thẳng \(y = kx – 1\) tiếp xúc với parabol \(y = x^2 – 4x + 5\).
Lời giải
– Giải hệ: $ x^2 – 4x + 5 = kx – 1. $
– Để tiếp xúc, phương trình trên phải có nghiệm kép: $ x^2 – (4 + k)x + 6 = 0, \quad \Delta = 0. $
Dạng 52. Bài toán kết hợp hàm số bậc nhất với hệ phương trình bậc hai
Yêu cầu:Giải bài toán kết hợp giữa đường thẳng và parabol.
Bài tập: Tìm giao điểm giữa \(y = 3x + 2\) và \(y = x^2 – x – 6\).
Lời giải
– Giải hệ: $ 3x + 2 = x^2 – x – 6 \Rightarrow x^2 – 4x – 8 = 0. $
– Tìm nghiệm của phương trình bậc hai và thay vào để tìm \(y\).
Dạng 53. Tìm khoảng cách từ một điểm đến đoạn thẳng trên đồ thị hàm số bậc nhất
Yêu cầu:Xác định khoảng cách từ một điểm cho trước đến đoạn thẳng trên đồ thị.
Bài tập: Tính khoảng cách từ \(P(2, 5)\) đến đoạn thẳng \(y = 2x – 3\) với x ∈ [1, 3].
Lời giải
– Tính khoảng cách từ \(P\) đến đường thẳng \(y = 2x – 3\).
– Kiểm tra xem điểm chân đường vuông góc có nằm trong đoạn x ∈ [1, 3].
– Nếu không, tính khoảng cách từ \(P\) đến hai đầu mút của đoạn.
Dạng 54. Ứng dụng hàm số bậc nhất để tối ưu hóa
Yêu cầu:Sử dụng hàm số bậc nhất để giải các bài toán tối ưu hóa trong kinh tế, kỹ thuật, v.v.
Bài tập: Một công ty cần vận chuyển hàng hóa với chi phí \(C(x) = 500x + 2000\). Tìm \(x\) để chi phí trung bình trên mỗi đơn vị thấp nhất.
Lời giải
– Chi phí trung bình: $ \bar{C}(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{500x + 2000}{x} = 500 + \frac{2000}{x}. $
– Để \(\bar{C}(x)\) nhỏ nhất, ta khảo sát hàm số hoặc tính đạo hàm.
Dạng 55. Xác định phương trình đường thẳng song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước qua một điểm
Yêu cầu:Tìm phương trình đường thẳng song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước đi qua một điểm cụ thể.
Bài tập: Tìm phương trình đường thẳng song song với \(y = 3x + 2\) và đi qua điểm \(A(1, -2)\).
Lời giải
Đường thẳng song song với \(y = 3x + 2\) có cùng hệ số góc \(m = 3\).
Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng: $ y = 3x + b. $
Thay tọa độ điểm \(A(1, -2)\) vào phương trình: $ -2 = 3(1) + b \Rightarrow b = -5. $
Vậy phương trình là: $ y = 3x – 5. $
Dạng 56. Giải bài toán tìm quỹ tích liên quan đến hàm số bậc nhất
Yêu cầu:Xác định quỹ tích của một điểm di chuyển liên quan đến hàm số bậc nhất.
Bài tập: Tìm quỹ tích điểm \(M(x, y)\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(y = 2x – 3\) luôn bằng 3.
Lời giải
Khoảng cách từ điểm \(M(x, y)\) đến đường thẳng \(ax + by + c = 0\) được tính bằng: $ d = \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}. $
Với \(a = -2, b = 1, c = 3\), ta có: $ \frac{|-2x + y – 3|}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2}} = 3 \Rightarrow |-2x + y – 3| = 3\sqrt{5}. $
Phương trình này biểu diễn quỹ tích của điểm \(M\).
Dạng 57. Tìm tọa độ điểm chia đoạn thẳng theo tỉ lệ trên đồ thị hàm số bậc nhất
Yêu cầu:Tìm tọa độ của một điểm chia đoạn thẳng theo tỉ lệ \(k : 1\).
Bài tập: Cho hai điểm \(A(1, 2)\) và \(B(4, 8)\). Tìm tọa độ điểm \(M\) chia đoạn \(AB\) theo tỉ lệ \(2 : 1\).
Lời giải
Tọa độ điểm \(M\) chia đoạn \(AB\) theo tỉ lệ \(k : 1\) được tính bằng công thức: $ M\left(\frac{kx_2 + x_1}{k + 1}, \frac{ky_2 + y_1}{k + 1}\right). $
Với \(k = 2, A(1, 2), B(4, 8)\), ta có: $ M\left(\frac{2 \cdot 4 + 1}{2 + 1}, \frac{2 \cdot 8 + 2}{2 + 1}\right) = M\left(\frac{8 + 1}{3}, \frac{16 + 2}{3}\right) = M\left(3, 6\right). $
Dạng 58. Ứng dụng hàm số bậc nhất trong bài toán chuyển động
Yêu cầu:Dùng hàm số bậc nhất để giải bài toán liên quan đến chuyển động đều.
Bài tập: Một xe máy đi từ \(A\) đến \(B\) với vận tốc \(40\) km/h. Sau đó, xe ô tô đi từ \(A\) đến \(B\) với vận tốc \(60\) km/h, xuất phát sau xe máy 30 phút. Viết phương trình khoảng cách giữa hai xe theo thời gian \(t\) (giờ).
Lời giải
– Xe máy: Quãng đường đi được là \(S_1 = 40t\).
– Xe ô tô: Quãng đường đi được là \(S_2 = 60(t – 0.5)\).
– Khoảng cách giữa hai xe: $ d(t) = |S_2 – S_1| = |60(t – 0.5) – 40t| = |20t – 30|. $
Phương trình khoảng cách: $ d(t) = |20t – 30|. $
Dạng 59. Giải bài toán liên quan đến định lý Thales bằng hàm số bậc nhất
Yêu cầu:Áp dụng định lý Thales để giải bài toán về tỉ lệ trên đồ thị hàm số bậc nhất.
Bài tập: Trên đường thẳng \(y = 2x + 1\), tìm tọa độ điểm \(C\) sao cho \(C\) chia đoạn nối giữa \(A(1, 3)\) và \(B(3, 7)\) theo tỉ lệ \(1 : 3\).
Lời giải
Tọa độ \(C\) được tính: $C\left( {\frac{{1 \cdot 3 + 3 \cdot 1}}{{1 + 3}},\frac{{1 \cdot 7 + 3 \cdot 3}}{{1 + 3}}} \right)$ $ = C\left( {\frac{{3 + 3}}{4},\frac{{7 + 9}}{4}} \right)$ $ = C\left( {1.5,4} \right).$
Dạng 60. Xác định điều kiện để đường thẳng cắt trục tọa độ tại các điểm cố định
Yêu cầu:Xác định điều kiện để đường thẳng đi qua hai điểm cố định trên trục tọa độ.
Bài tập: Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A(0, 3)\) và \(B(4, 0)\).
Lời giải
Phương trình đường thẳng có dạng: $ y = mx + c. $
Với điểm \(A(0, 3)\), ta có \(c = 3\). Với điểm \(B(4, 0)\), thay vào: $ 0 = 4m + 3 \Rightarrow m = -\frac{3}{4}. $
Vậy phương trình đường thẳng là: $ y = -\frac{3}{4}x + 3. $
Dạng 61. Ứng dụng hàm số bậc nhất trong bài toán vận tốc dòng nước
Yêu cầu:Giải bài toán chuyển động trong dòng nước sử dụng hàm số bậc nhất.
Bài tập: Một ca nô di chuyển xuôi dòng với vận tốc dòng nước \(3\) km/h. Vận tốc thực tế của ca nô là \(30\) km/h. Tính thời gian để ca nô đi được \(90\) km.
Lời giải
Vận tốc xuôi dòng: $ v = 30 + 3 = 33 \, \text{km/h}. $
Thời gian: $ t = \frac{S}{v} = \frac{90}{33} \approx 2.73 \, \text{giờ}. $